Криворудський ліцей

Математика

Методичні рекомендації
для учителів математики щодо підготовки учнів
до зовнішнього незалежного оцінювання у 2012 році

Укладач: Нелін Є.П.,
кандидат педагогічних наук,
методист науково-методичного відділу
Харківського регіонального центру оцінювання якості освіти

Особливості проведення ЗНО-2012
У Міністерстві юстиції зареєстровано наказ Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 3 листопада 2011 року № 1254, яким затверджено:
 Порядок проведення зовнішнього незалежного оцінювання в 2012 році;
 Положення про апеляційну комісію Українського центру оцінювання якості освіти;
 Положення про регламентну комісію регіонального центру оцінювання якості освіти;
 Положення про предметні фахові комісії при Українському центрі оцінювання якості освіти;
 Технічний опис сертифіката зовнішнього незалежного оцінювання та інформаційної картки до сертифіката зовнішнього незалежного оцінювання.
Наказами Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 9 серпня 2011 р. № 946 та від 14 жовтня 2011 року №1192 визначено перелік предметів, з яких буде проводитися зовнішнє незалежне оцінювання у 2012 році. Затверджено календарний план підготовки та проведення ЗНО-2012 (наказ Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 23.11.2011 р. № 1346 «Про затвердження календарного плану підготовки та проведення зовнішнього незалежного оцінювання осіб, які виявили бажання вступати до вищих навчальних закладів України в 2012 році»).
Відповідно до названих нормативних документів можна визначити, що:
1. Реєстрація учасників триватиме з 1 січня по 20 лютого 2012 року.
2. ЗНО буде проведене з 15 травня по 7 червня 2012 року.
3. У 2012 році зовнішнє незалежне оцінювання проводитиметься з десяти предметів: з української мови та літератури, історії України, всесвітньої історії, математики, біології, фізики, хімії, географії, російської мови, однієї з іноземних мов (за вибором) – англійської, німецької, французької, іспанської.
4. Максимальна кількість тестів, яку може скласти кожен учасник тестування, – чотири.
5. Тестування з української мови та літератури, математики та історії України буде проведено у дві сесії. Тестування з математики відбудуться 21 травня та 22 травня 2012 року.
6. Результати, отримані під час зовнішнього оцінювання, будуть зазначені в додатку до сертифікату Українського центру оцінювання якості освіти, який абітурієнт подаватиме до приймальних комісій ВНЗ.
Зовнішнє незалежне оцінювання навчальних досягнень з математики бажаючих вступити до вищих навчальних закладів у 2012 р. буде проводитися у формі бланкового тестування.
Готуючись до ЗНО з математики, слід враховувати структуру та зміст тесту. Наведемо характеристику тесту з математики 2012 р., надану Українським центром оцінювання якості освіти.

1. Характеристика тесту з математики
Зміст тесту визначається на основі Програми для зовнішнього незалежного оцінювання з математики (Затверджено Міністерством освіти і науки України, наказ № 791 від 14.07.2011 р. – див. Додаток 1).
Загальна кількість завдань тесту – 32.
На виконання тесту з математики відведено 150 хвилин.
Тест складається із завдань трьох форм:
1. Завдання з вибором однієї правильної відповіді (№ 1-20).
2. Завдання на встановлення відповідності (№ 21-24).
3. Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (№ 25-32).
Максимальна кількість тестових балів, яку можна набрати, правильно розв’язавши всі завдання тесту з математики, – 52.
Композиція завдань у тесті з математики ґрунтується на таких засадах:
1. За формами, вказаними вище: від завдань з вибором однієї правильної відповіді до завдань з короткою відповіддю. Це пояснюється специфікою роботи з завданнями кожної форми та технологічними аспектами комп’ютерної обробки бланків відповідей.
2. За принципом зростання складності завдань у межах кожної з форм.

2. Критерії оцінювання та приклади завдань тесту з математики
Пояснимо більш детально критерії оцінювання тестових завдань та наведемо приклади завдань кожної форми і зразки позначень правильної відповіді в бланку відповіді.
1. Завдання з вибором однієї правильної відповіді (завдання 1–20 тесту ЗНО за специфікацією 2012 р.). До кожного з таких завдань пропонується 5 варіантів відповідей, серед яких лише одна є правильною. Із запропонованих відповідей слід вибрати правильну та певним чином (див. нижче) позначити її у бланку відповідей А . За виконання кожного із завдань 1–20 учасник тестування може отримати 0 балів або 1 бал.
Завдання вважатиметься виконаним правильно й учасник отримує 1 бал, якщо обрано та певним чином позначено у бланку А правильний варіант відповіді.
Завдання вважатиметься виконаним неправильно й учасник отримує 0 балів, якщо у бланку А :
а) позначено неправильний варіант відповіді;
б) позначено два або більше варіантів відповіді, навіть якщо поміж них є правильний;
в) не позначено жодного варіанта відповіді.
П р и к л а д 1. Обчисліть: .
А Б В Г Д
0,8 0,2 0,008 4 0,08

Розв’язання. Оскільки 64 = 33 і 0,008 = 0,23, то .
Отже, правильна відповідь А.
Зразок позначення відповіді в бланку А:

П р и к л а д 2. На рисунку зображено графіки функцій і
y = x − 3 . Укажіть проміжок, на якому виконується нерівність .

А Б В Г Д
(− ∞; 6) [−3;6) [−3;6] (6; + ∞) [6; + ∞)
Розв’язання. Для функцій і g(x) = x−3 , що задані графіками, нерівність f(x) < g(x) виконуватиметься для тих і тільки для тих значень аргументу, для яких графік функції f(x) розташований нижче, ніж графік функції g(x). Аналізуючи задані графіки, бачимо, що це буде при x(6;+∞). Але задана нерівність не є строгою, тому її задовольнятимуть і ті значення аргументу, при яких f(x) = g(x), тобто x = 6 . Таким чином, нерівність виконуватиметься для всіх x [6;+∞). Отже, правильна відповідь Д.
Зразок позначення відповіді в бланку А:

2. Завдання на встановлення відповідності (логічні пари) (завдання 21–24 тесту ЗНО за специфікацією 2012 р.). До кожного завдання у двох колонках подано інформацію, яку позначено цифрами (ліворуч) і буквами (праворуч). Виконуючи завдання, необхідно встановити відповідність інформації, позначеної цифрами і буквами (утворити логічні пари). За кожну правильно позначену логічну пару учасник отримує 1 бал. Отже, максимальна кількість балів за повністю правильно виконане завдання становить 4 бали.
Відповідність вважатиметься встановленою правильно й учасник отримує 1 бал за одну логічну пару, якщо для обраної інформації, позначеної цифрою, правильно визначено відповідну інформацію, позначену буквою, і результат певним чином позначено у бланку відповідей А.
Відповідність вважатиметься встановленою неправильно й учасник отримує 0 балів, якщо у бланку А:
а) для розглядуваної цифри позначено неправильний варіант відповіді;
б) для розглядуваної цифри позначено два або більше варіантів відповіді, навіть якщо поміж них є правильний;
в) для розглядуваної цифри не позначено жодного варіанта відповіді.

П р и к л а д 3. Установіть відповідність між заданими виразами (1–4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А–Д).
1 ( 3a − b)2
2 (3a − b)(b + 3a)
3 (a − 3b)2
4 (a + 3b)(3a − b) А 9a2 − b2
Б 9b2 − 2ab + a2
В 3a2 + 8ab − 3b2
Г 9a2 − 6ab + b2
Д 9b2 − 6ab + a2
Розв’язання. Перетворюючи вираз, який позначено цифрою 1:
( 3a − b)2 = 9a2 − 6ab + b2, — одержуємо вираз, який позначено буквою Г. Отже, цифрі 1 у лівій колонці відповідає буква Г у правій колонці, тобто позначку слід поставити на перетині відповідних рядків – цифри 1 і колонки з буквою Г (див. зразок позначення відповіді в бланку А нижче).
Аналогічно, використовуючи відповідні формули, одержуємо:
2. (3a − b)(b + 3a) = 9a2 − b2, отже, цифрі 2 відповідає буква А;
3. (a − 3b)2 = a2 − 6ab + 9b2 = 9b2 − 6ab + a2, отже, цифрі 3 відповідає буква Д;
4. (a + 3b)(3a − b) = 3a2 − ab + 9ab − 3b2 = 3a2 + 8ab − 3b2, отже, цифрі 4 відповідає буква В.
Зразок позначення відповіді в бланку А:

Зауваження. Слід враховувати, що в правій колонці букв на одну більше, ніж цифр в лівій колонці, тому в усіх таких завданнях одна буква залишається не позначеною (у наведеному прикладі це буква Б).
П р и к л а д 4. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між заданими кутами (1–4) та їхніми градусними мірами (А–Д).
1 Кут між прямими DD1 і AB1
2 Кут між прямими DС1 і СB1
3 Кут між прямими АD і B1С1
4 Кут між прямими А1В і DС1
А 0°
Б 30°
В 45°
Г 60°
Д 90°

Розв’язання. 1. У заданому кубі DD1 AA1, тому (DD1; AB1) = Ð (AA1; AB1) = Ð A1AB1 = 45 (як кут між стороною квадрата ABB1A1 та його діагоналлю) (див. рисунок нижче). Отже, цифрі 1 у лівій колонці відповідає буква В у правій колонці.
2. Оскільки в заданому кубі AB1 DC1, то
Ð (DC1; CB1) = Ð (AB1;CB1)= Ð AB1C = 60° (як кут рівностороннього трикутника AB1С), отже, цифрі 2 відповідає буква Г.
3. Оскільки AD B1C1, то Ð (AD; B1C1) = 0° (кут між паралельними прямими вважається рівним 0°), отже, цифрі 3 відповідає буква А.
4. Оскільки в заданому кубі AB 1  DC1, то Ð (A1B; DC1) = Ð (A1B; AB 1) = 90° (як кут між діагоналями квадрата ABB1 A 1), отже, цифрі 4 відповідає буква Д.
Зразок позначення відповіді в бланку А:

3. Завдання відкритої форми з короткою відповіддю (завдання 25 – 32 тесту ЗНО за специфікацією 2012 р.). У результаті виконання кожного з таких завдань отриманий числовий результат потрібно вписати у вигляді цілого числа або десяткового дробу в бланк відповідей А згідно з вимогами його заповнення (див. нижче). У бланк відповідей вписується лише числова відповідь, причому у тих одиницях величини, що зазначені в умові завдання. Слід пам’ятати, що розв’язання завдань у чернетці не перевіряються і до уваги не беруться.
За виконання кожного такого завдання учасник тестування може отримати 0 балів або 2 бали.
Завдання вважатиметься виконаним правильно й учасник отримує 2 бали, якщо у бланку А правильно розміщено правильну відповідь.
Завдання вважатиметься виконаним неправильно й учасник отримує 0 балів, якщо у бланку А:
а) записано неправильну відповідь;
б) неправильно розміщено правильну відповідь;
в) не записано відповідь.

П р и к л а д 5. Розв’яжіть рівняння . Якщо рівняння має декілька коренів, запишіть їхню суму.
Розв’язання. Після піднесення обох частин заданого рівняння до квадрата одержуємо:
2x2 − 25 = x2; x2 = 25; x = ± 5.
Підставляючи одержані корені в задане рівняння, отримуємо, що x = 5 — корінь рівняння
(одержуємо правильну рівність 5=5), а x = −5 є стороннім коренем (одержуємо неправильну
рівність 5= −5). Отже, до відповіді слід записати тільки число 5. Відповідь: 5.
Зразок запису відповіді в бланку А:

П р и к л а д 6. Знайдіть площу трапеції, якщо її діагоналі дорівнюють 6 см і 7 см, а кут між ними становить 30°.
Розв’язання. Оскільки площа довільного чотирикутника дорівнює півдобутку його діагоналей на синус кута між ними, то отримуємо:
(см ). Отже, до відповіді слід записати число 10,5.
Відповідь: 10,5.

Зразок запису відповіді в бланку А:

Таким чином, у 2012 р. учасник, який правильно розв’язав усі завдання тесту та правильно записав відповіді у бланку А, отримує максимальну кількість балів — 52.

3. Особливості підготовки учнів до
виконання завдань ЗНО 2012 з математики
Успішне виконання абітурієнтами завдань зовнішнього незалежного оцінювання з математики спирається, перш за все, на успішне засвоєння ними як теоретичного матеріалу курсу математики, так і методів розв’язування задач, передбачених програмою з математики для загальноосвітньої школи і розглянутих в шкільних підручниках.
Для кращої підготовки учнів до виконання завдань зовнішнього незалежного оцінювання з математики доцільно провести систематизацію та узагальнення теоретичного матеріалу, передбаченого програмою з математики для ЗНО, та методів розв’язування основних типів завдань.
Зауважимо, що і теоретичний матеріал, і методи розв’язування математичних задач є спільними, як для тих завдань, які пропонуються в ЗНО з математики, так і для завдань державної підсумкової атестації (ДПА) з математики. Тому підготовка до розв’язування завдань ЗНО і ДПА з математики повинна бути єдиною.
Доцільно проводити систематизацію та узагальнення теоретичного матеріалу та методів розв’язування задач за змістовими лініями шкільного курсу математики: числа і вирази; рівняння і нерівності; функції; елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики; геометрія (планіметрія, стереометрія).
Слід враховувати, що в останні роки до тесту ЗНО з математики були включені завдання з вибором однієї правильної відповіді на перевірку формулювань основних теоретичних фактів шкільного курсу математики та розуміння їх змісту.
П р и к л а д 7 (ЗНО 2011). Доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: «Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює …»
А Б В Г Д
гіпотенузі квадрату суми катетів квадрату гіпотенузи добутку катетів подвійному добутку катетів
Розв’язання. Згадуючи формулювання теореми Піфагора: «В прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів», робимо висновок, що правильна відповідь В.

П р и к л а д 8 (ЗНО 2011). На одиничному колі зображено точку Р (– 0,8; 0,6) і кут  (див. рисунок).
Визначте cos .
А Б В Г Д
– 0,8 0,6 0,8 – 0,6
Розв’язання. Згадуючи означення косинуса кута в одиничному колі: «Косинусом кута  називається абсциса відповідної точки одиничного кола», робимо висновок, що cos  – це абсциса точки Р (тобто, – 0,8), отже, правильною відповіддю є відповідь А.

Доцільно запропонувати учням перелік основних опорних фактів шкільного курсу математики в формі таблиць, які містять основні теоретичні положення з кожної теми та основні алгоритми і прийоми розв’язування задач з відповідних тем (для цього можна використати, наприклад, посібники [12] і [13] або [11] чи [14]).
Наприклад, систематизацію та узагальнення теоретичного матеріалу, пов’язаного з подільністю чисел можна проводити за такою таблицею.

Після цього доцільно розглянути декілька типових задач, наприклад, аналогічних тим, які вже пропонувалися в завданнях ЗНО попередніх років (в квадратних дужках біля завдання вказано рік, коли було запропоноване це завдання).

Варто також запропонувати учням аналогічні завдання для самостійної роботи. Наприклад, такі.


Наведемо також аналогічний матеріал з теми «Відсотки», оскільки задачі на відсотки в завданнях ЗНО традиційно викликають утруднення в учнів.



Завдання для самостійної роботи учнів.



Для самоконтролю можна запропонувати учням правильні відповіді до цих завдань

Особливу увагу слід приділити систематизації та узагальненню матеріалу зі змістової лінії рівнянь та нерівностей, де також доречно виділити загальні методи розв’язування. Наведемо відповідні узагальнюючі таблиці, які зручно використати при розгляді цього матеріалу.
РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ

Аналогічні завдання слід розглянути для всіх видів рівнянь та нерівностей (цілих, дробових, ірраціональних, показникових логарифмічних та тригонометричних).

Проводячи систематизацію та узагальнення теоретичного матеріалу і методів розв’язування завдань з геометрії слід звернути увагу учнів на те, що частина тих фактів, на які доводиться спиратися при розв’язуванні геометричних задач (так званих опорних фактів), сповіщалася їм не у вигляді теорем, а під час розв’язування відповідних задач. Тому бажано нагадати учням перелік геометричних опорних фактів шкільних курсів планіметрії і стереометрії (відповідні опорні факти наведені, наприклад, в посібниках [13] та [14]).
Для ілюстрації наведемо систему таких опорних фактів, пов’язаних з пірамідою.

Для підготовки учнів до виконання завдань ЗНО з математики корисно також використати тренувальні тести, наведені в «Індивідуальних комплектах для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання 2012» [11], які підготовлені і видані видавничим домом «Освіта» спільно з Українським центром оцінювання якості освіти та Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України.

Література для підготовки до ЗНО з математики
Під час підготовки до тестування з математики рекомендується використовувати підручники та посібники, що мають гриф «Рекомендовано Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України».

Підручники
1. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г., Владіміров В.М. Геометрія. 10 клас (профільний рівень). – К. : Ґенеза, 2010. – 232 с.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г., Владіміров В.М. Геометрія. 11 клас (академічний і профільний рівні). – К. : Освіта, 2011. – 240 с.
3. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. 10 клас (академічний рівень). – К. : Зодіак - Еко, 2010. – 240 с.
4. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія. 11 клас (академічний і профільний рівні). – К. : Зодіак - Еко, 2011. – 256 с.
5. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (академічний рівень).− Х. : Гімназія, 2010. − 416 с.
6. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (профільний рівень).− Х. : Гімназія, 2010. − 416 с.
7. Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 11 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів (академічний рівень, профільний рівень). Харків : Гімназія, 2011. – 432 с.
8. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (академічний рівень).− Х. : Гімназія, 2010. − 416 с.
9. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (профільний рівень).− Х. : Гімназія, 2010. − 416 с.
10. Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра 11 клас. Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів (академічний рівень, профільний рівень). – Харків : Гімназія, 2011. – 432 с.

Посібники
11. Математика. Індивідуальний комплект для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання 2012. – К. : Освіта, 2012.
12. Нелін Є.П. Алгебра в таблицях. Навчальний посібник для учнів 7-11 класів. Рекомендовано Міністерствoм освіти і науки України (лист № 1.4/18– Г-553 від 28 грудня 2009 р.). – Харків : Гімназія, 2010, 2011. – 144 с.
13. Нелін Є.П. Геометрія в таблицях. Навчальний посібник для учнів 7–11 класів. Рекомендовано Міністерствoм освіти і науки України (лист № 1.4/18– Г-552 від 28 грудня 2009 р.). – Харків : Гімназія, 2010, 2011. – 80 с.
14. Нелін Є.П., Роганін О.М. Математика. Комплексна підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (Рекомендовано Міністерством освіти і науки України, лист № 1.4/18 – Г-1 від 13 січня 2010 р.). – Харків : Гімназія, 2011. – 248 с.